第六章 多元函数微积分

考试大纲

1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义
2. 了解二元函数的极限与连续的概念
3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念
4. 掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法
5. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数
6. 理解多元函数极值和条件极值的概念
7. 掌握多元函数极值存在的必要条件
8. 了解二元函数极值存在的充分条件
9. 会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值
10. 理解二重积分的概念，了解二重积分的性质
11. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）

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核心知识点

1. 多元函数的基本概念

二元函数： 设 $D$ 是平面上的一个点集，如果对于每个点 $P(x, y) \in D$，变量 $z$ 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 $z$ 是变量 $x$、$y$ 的二元函数，记为：

$$z = f(x, y), \quad (x, y) \in D$$

点集 $D$ 称为该函数的定义域，$x$、$y$ 称为自变量，$z$ 称为因变量。

二元函数的几何意义： 二元函数 $z = f(x, y)$ 的图形是一张曲面。

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2. 二元函数的极限与连续

二重极限： 设函数 $f(x, y)$ 在开区间（或闭区域）$D$ 内有定义，$P_0(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得对于适合不等式：

$$0 < |PP_0| = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$$

的一切点 $P(x, y) \in D$，都有 $|f(x, y) - A| < \varepsilon$ 成立，则称常数 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \to (x_0, y_0)$ 时的极限，记作：

$$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A \quad \text{或} \quad f(x, y) \to A \ (\rho \to 0)$$

其中 $\rho = |PP_0|$。

注意： 二重极限存在，是指 $P(x, y)$ 以任何方式趋于 $P_0(x_0, y_0)$ 时，函数都无限接近于 $A$。如果 $P(x, y)$ 以不同方式趋于 $P_0(x_0, y_0)$ 时，函数趋于不同的值，则可断定这函数的极限不存在。

连续： 如果 $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$，则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 连续。

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3. 偏导数

偏导数定义： 设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域内有定义，当 $y$ 固定在 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，相应地函数有增量 $f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$。如果极限：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作：

$$\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{x=x_0, y=y_0}, \quad \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x=x_0, y=y_0}, \quad \left. z_x \right|_{x=x_0, y=y_0}, \quad f_x(x_0, y_0)$$

类似地，可定义对 $y$ 的偏导数 $f_y(x_0, y_0)$。

几何意义： 偏导数 $f_x(x_0, y_0)$ 就是曲面 $z = f(x, y)$ 被平面 $y = y_0$ 所截得的曲线在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T_x$ 对 $x$ 轴的斜率。

高阶偏导数： 二阶偏导数有四个：

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f_{xx}(x, y), \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{xy}(x, y)$$

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f_{yx}(x, y), \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f_{yy}(x, y)$$

定理： 如果函数 $z = f(x, y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ 在区域 $D$ 内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等，即：

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$$

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4. 全微分

全微分定义： 如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全增量：

$$\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)$$

可表示为：

$$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$$

其中 $A$、$B$ 不依赖于 $\Delta x$、$\Delta y$ 而仅与 $x$、$y$ 有关，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则称函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微分，而 $A \Delta x + B \Delta y$ 称为函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全微分，记作 $dz$，即：

$$dz = A \Delta x + B \Delta y$$

必要条件： 如果函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微分，则该函数在点 $(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全微分为：

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$$

充分条件： 如果函数 $z = f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x, y)$ 连续，则函数在该点可微分。

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5. 多元复合函数求导法则

链式法则： 如果函数 $u = \varphi(t)$ 及 $v = \psi(t)$ 都在点 $t$ 可导，函数 $z = f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 具有连续偏导数，则复合函数 $z = f[\varphi(t), \psi(t)]$ 在点 $t$ 可导，且有：

$$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{dv}{dt}$$

中间变量为多元函数： 如果函数 $u = \varphi(x, y)$ 及 $v = \psi(x, y)$ 都在点 $(x, y)$ 具有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $z = f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 具有连续偏导数，则复合函数 $z = f[\varphi(x, y), \psi(x, y)]$ 在点 $(x, y)$ 的两个偏导数都存在，且有：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$$

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6. 隐函数求导公式

隐函数存在定理 1： 设函数 $F(x, y)$ 在点 $P(x_0, y_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0) = 0$，$F_y(x_0, y_0) \neq 0$，则方程 $F(x, y) = 0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y = f(x)$，它满足条件 $y_0 = f(x_0)$，并有：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

隐函数存在定理 2： 设函数 $F(x, y, z)$ 在点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$，$F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$，则方程 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z = f(x, y)$，它满足条件 $z_0 = f(x_0, y_0)$，并有：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

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7. 多元函数的极值

极值定义： 设函数 $z = f(x, y)$ 的定义域为 $D$，$P_0(x_0, y_0)$ 为 $D$ 的内点。若存在 $P_0$ 的某个邻域 $U(P_0) \subset D$，使得对于该邻域内异于 $P_0$ 的任何点 $(x, y)$，都有：

$$f(x, y) < f(x_0, y_0)$$

则称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 有极大值 $f(x_0, y_0)$，点 $(x_0, y_0)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的极大值点；若都有 $f(x, y) > f(x_0, y_0)$，则称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 有极小值，点 $(x_0, y_0)$ 称为函数 $f(x, y)$ 的极小值点。

必要条件： 设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 具有偏导数，且在点 $(x_0, y_0)$ 处有极值，则有：

$$f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$$

充分条件： 设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 $f_x(x_0, y_0) = 0$，$f_y(x_0, y_0) = 0$，令：

$$f_{xx}(x_0, y_0) = A, \quad f_{xy}(x_0, y_0) = B, \quad f_{yy}(x_0, y_0) = C$$

则 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处是否取得极值的条件如下：

1. $AC - B^2 > 0$ 时具有极值，且当 $A < 0$ 时有极大值，当 $A > 0$ 时有极小值
2. $AC - B^2 < 0$ 时没有极值
3. $AC - B^2 = 0$ 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论

条件极值（拉格朗日乘数法）： 要找函数 $z = f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数：

$$L(x, y) = f(x, y) + \lambda \varphi(x, y)$$

其中 $\lambda$ 为参数。求其对 $x$ 与 $y$ 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程 $\varphi(x, y) = 0$ 联立起来：

$$\begin{cases} f_x(x, y) + \lambda \varphi_x(x, y) = 0 \\ f_y(x, y) + \lambda \varphi_y(x, y) = 0 \\ \varphi(x, y) = 0 \end{cases}$$

由这方程组解出 $x$、$y$ 及 $\lambda$，这样得到的 $(x, y)$ 就是函数 $f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的可能极值点。

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8. 二重积分

二重积分定义： 设 $f(x, y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数。将闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \cdots, \Delta \sigma_n$，其中 $\Delta \sigma_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的面积。在每个 $\Delta \sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，作乘积 $f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i$（$i = 1, 2, \cdots, n$），并作和 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i$。如果当各小闭区域的直径中的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，且与闭区域 $D$ 的分法及点 $(\xi_i, \eta_i)$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分，记作 $\iint_D f(x, y) \, d\sigma$，即：

$$\iint_D f(x, y) \, d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i$$

几何意义： 当 $f(x, y) \geq 0$ 时，二重积分 $\iint_D f(x, y) \, d\sigma$ 表示以 $D$ 为底，以曲面 $z = f(x, y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。

性质：

1. 线性性质：

   $$\iint_D [\alpha f(x, y) + \beta g(x, y)] \, d\sigma = \alpha \iint_D f(x, y) \, d\sigma + \beta \iint_D g(x, y) \, d\sigma$$

2. 区域可加性： 如果闭区域 $D$ 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在 $D$ 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。

3. 保号性： 如果在 $D$ 上，$f(x, y) \leq g(x, y)$，则有：

   $$\iint_D f(x, y) \, d\sigma \leq \iint_D g(x, y) \, d\sigma$$

4. 估值定理： 设 $M$、$m$ 分别是 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上的最大值和最小值，$\sigma$ 是 $D$ 的面积，则有：

   $$m\sigma \leq \iint_D f(x, y) \, d\sigma \leq M\sigma$$

5. 中值定理： 设函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 是 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$，使得：

   $$\iint_D f(x, y) \, d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot \sigma$$

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9. 二重积分的计算

（1）直角坐标系

X 型区域： $D = \{(x, y) | \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x), a \leq x \leq b\}$

$$\iint_D f(x, y) \, d\sigma = \int_a^b \left[ \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \, dy \right] dx = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \, dy$$

Y 型区域： $D = \{(x, y) | \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y), c \leq y \leq d\}$

$$\iint_D f(x, y) \, d\sigma = \int_c^d \left[ \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y) \, dx \right] dy = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y) \, dx$$

（2）极坐标系

当积分区域 $D$ 是圆域、圆环域或扇形域，或被积函数含有 $x^2 + y^2$ 时，利用极坐标计算较为方便。

变换公式： $x = \rho \cos\theta$，$y = \rho \sin\theta$

面积元素： $d\sigma = \rho \, d\rho \, d\theta$

$$\iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \iint_D f(\rho \cos\theta, \rho \sin\theta) \rho \, d\rho \, d\theta$$

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典型例题

例题 1：求偏导数

设 $z = x^2 \sin 2y + e^{xy}$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$、$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

解：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \sin 2y + ye^{xy}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 \cos 2y + xe^{xy}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) = 4x \cos 2y + e^{xy} + xye^{xy}$$

$$= \boxed{4x \cos 2y + (1 + xy)e^{xy}}$$

例题 2：复合函数求导

设 $z = e^u \sin v$，$u = xy$，$v = x + y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = e^u \sin v \cdot y + e^u \cos v \cdot 1$$

$$= e^{xy}[y \sin(x + y) + \cos(x + y)]$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} = e^u \sin v \cdot x + e^u \cos v \cdot 1$$

$$= e^{xy}[x \sin(x + y) + \cos(x + y)]$$

例题 3：隐函数求导

设 $x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

解：

设 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z$，则：

$$F_x = 2x, \quad F_y = 2y, \quad F_z = 2z - 4$$

由隐函数求导公式：

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{2x}{2z - 4} = \boxed{\frac{x}{2 - z}}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{2y}{2z - 4} = \boxed{\frac{y}{2 - z}}$$

例题 4：求极值

求函数 $f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x$ 的极值。

解：

先解方程组：

$$f_x(x, y) = 3x^2 + 6x - 9 = 0, \quad f_y(x, y) = -3y^2 + 6y = 0$$

求得驻点为 $(1, 0)$、$(1, 2)$、$(-3, 0)$、$(-3, 2)$。

再求出二阶偏导数：

$$f_{xx}(x, y) = 6x + 6, \quad f_{xy}(x, y) = 0, \quad f_{yy}(x, y) = -6y + 6$$

在点 $(1, 0)$ 处：$A = 12$，$B = 0$，$C = 6$，$AC - B^2 = 72 > 0$，且 $A > 0$，所以函数在 $(1, 0)$ 处有极小值 $f(1, 0) = -5$

在点 $(1, 2)$ 处：$A = 12$，$B = 0$，$C = -6$，$AC - B^2 = -72 < 0$，所以 $f(1, 2)$ 不是极值

在点 $(-3, 0)$ 处：$A = -12$，$B = 0$，$C = 6$，$AC - B^2 = -72 < 0$，所以 $f(-3, 0)$ 不是极值

在点 $(-3, 2)$ 处：$A = -12$，$B = 0$，$C = -6$，$AC - B^2 = 72 > 0$，且 $A < 0$，所以函数在 $(-3, 2)$ 处有极大值 $f(-3, 2) = 31$

例题 5：计算二重积分

计算 $\iint_D xy \, d\sigma$，其中 $D$ 是由直线 $y = 1$、$x = 2$ 及 $y = x$ 所围成的闭区域。

解：

画出积分区域 $D$，它是 X 型区域：

$$D = \{(x, y) | 1 \leq y \leq x, 1 \leq x \leq 2\}$$

$$\iint_D xy \, d\sigma = \int_1^2 \left[ \int_1^x xy \, dy \right] dx = \int_1^2 \left[ x \cdot \frac{y^2}{2} \right]_1^x dx$$

$$= \int_1^2 \left( \frac{x^3}{2} - \frac{x}{2} \right) dx = \left[ \frac{x^4}{8} - \frac{x^2}{4} \right]_1^2$$

$$= \left( \frac{16}{8} - \frac{4}{4} \right) - \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \right) = (2 - 1) - \left( -\frac{1}{8} \right) = \boxed{\frac{9}{8}}$$

例题 6：极坐标计算二重积分

计算 $\iint_D e^{-x^2-y^2} \, dx \, dy$，其中 $D$ 是由中心在原点、半径为 $a$ 的圆周所围成的闭区域。

解：

在极坐标系中，闭区域 $D$ 可表示为：

$$0 \leq \rho \leq a, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi$$

$$\iint_D e^{-x^2-y^2} \, dx \, dy = \iint_D e^{-\rho^2} \cdot \rho \, d\rho \, d\theta$$

$$= \int_0^{2\pi} \left[ \int_0^a e^{-\rho^2} \rho \, d\rho \right] d\theta = \int_0^{2\pi} \left[ -\frac{1}{2} e^{-\rho^2} \right]_0^a d\theta$$

$$= \frac{1}{2}(1 - e^{-a^2}) \int_0^{2\pi} d\theta = \boxed{\pi(1 - e^{-a^2})}$$

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易错点提醒

常见错误

1. 求偏导数时忘记把其他变量看作常数

   • 对 $x$ 求偏导时，$y$ 是常数
   • 对 $y$ 求偏导时，$x$ 是常数

2. 混合偏导数不相等时误认为相等

   • 只有当二阶混合偏导数连续时，才有 $f_{xy} = f_{yx}$

3. 求复合函数偏导时漏项

   • 链式法则要求经过所有中间变量

4. 求极值时忘记检验充分条件

   • 驻点不一定是极值点，需用 $AC - B^2$ 判断

5. 二重积分积分次序选择不当

   • 根据被积函数和积分区域选择合适的积分次序
   • 必要时交换积分次序

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本章小结

1. 理解多元函数的概念，掌握二元函数的极限与连续
2. 熟练掌握偏导数和全微分的计算
3. 掌握多元复合函数和隐函数的求导法则
4. 会求多元函数的极值和条件极值
5. 掌握二重积分的概念、性质和计算方法（直角坐标、极坐标）

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考研高数复习建议

基础阶段（现在-6月）

• 通读教材，理解基本概念
• 做课后习题，掌握基本方法
• 整理笔记，形成知识框架

强化阶段（7-9月）

• 系统做题，总结题型和解题技巧
• 重点突破薄弱环节
• 开始做历年真题

冲刺阶段（10-12月）

• 模拟考试，限时训练
• 回顾错题，查漏补缺
• 背诵公式，保持题感

祝各位考生金榜题名！