第一章 函数与极限

考试大纲

1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法
2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形
5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念
6. 掌握极限的性质及四则运算法则
7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限
8. 掌握两个重要极限求极限的方法
9. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法
10. 理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型

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核心知识点

1. 极限的定义

数列极限

设 $\{x_n\}$ 为一数列，如果存在常数 $a$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式

$$|x_n - a| < \varepsilon$$

都成立，那么就称常数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，记作：

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a$$

函数极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有

$$|f(x) - A| < \varepsilon$$

则称 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作：

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$$

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2. 两个重要极限

第一个重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

推广形式：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$

第二个重要极限

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

等价形式：

$$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$$

推广形式：

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$$

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3. 无穷小量的比较

设 $\alpha$ 和 $\beta$ 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小。

• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$，就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0$，就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$

常用等价无穷小（当 $x \to 0$ 时）

原式	等价式	原式	等价式
$\sin x$	$x$	$\tan x$	$x$
$\arcsin x$	$x$	$\arctan x$	$x$
$1 - \cos x$	$\frac{1}{2}x^2$	$\ln(1+x)$	$x$
$e^x - 1$	$x$	$a^x - 1$	$x \ln a$
$(1+x)^\alpha - 1$	$\alpha x$	$\sqrt[n]{1+x} - 1$	$\frac{x}{n}$

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4. 极限运算法则

设 $\lim f(x) = A$，$\lim g(x) = B$，则：

1. $\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
2. $\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
3. $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$（$B \neq 0$）

注意： 只有当 $\lim f(x)$ 和 $\lim g(x)$ 都存在时，才能使用上述法则。

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5. 洛必达法则

设：

1. 当 $x \to a$（或 $x \to \infty$）时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零（或都趋于无穷大）
2. 在点 $a$ 的某去心邻域内（或当 $|x| > N$ 时），$f'(x)$ 及 $F'(x)$ 都存在且 $F'(x) \neq 0$
3. $\lim \frac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在（或为无穷大）

则：

$$\lim \frac{f(x)}{F(x)} = \lim \frac{f'(x)}{F'(x)}$$

适用类型： $\frac{0}{0}$ 型、$\frac{\infty}{\infty}$ 型

可转化类型： $0 \cdot \infty$、$\infty - \infty$、$0^0$、$1^\infty$、$\infty^0$

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典型例题

例题 1：利用等价无穷小求极限

求 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$

解：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x(\frac{1}{\cos x} - 1)}{x^3}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x}$$

$$= 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \boxed{\frac{1}{2}}$$

例题 2：利用洛必达法则

求 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$

解：（$\frac{0}{0}$ 型，连续使用洛必达法则）

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \boxed{2}$$

例题 3：$1^\infty$ 型极限

求 $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

解：

设 $y = (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$，则 $\ln y = \frac{\ln \cos x}{x^2}$

$$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln[1 + (\cos x - 1)]}{x^2}$$

利用等价无穷小：$\ln[1 + (\cos x - 1)] \sim \cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$

$$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2}$$

所以原极限 $= e^{-\frac{1}{2}} = \boxed{\frac{1}{\sqrt{e}}}$

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易错点提醒

常见错误

1. 等价无穷小替换只能用于乘除，不能用于加减

   • 错误：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x - x}{x^3} = 0$
   • 正确：需要提取公因式或使用泰勒展开

2. 洛必达法则使用前要验证条件

   • 必须是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
   • 导数之比的极限必须存在（或为无穷大）

3. 极限四则运算法则的使用前提

   • 各极限必须分别存在才能拆分计算

4. 注意自变量的变化趋势

   • $x \to 0$ 与 $x \to \infty$ 时，等价无穷小完全不同

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本章小结

1. 理解极限的 $\varepsilon$-$N$、$\varepsilon$-$\delta$ 定义
2. 熟练掌握两个重要极限及其变形
3. 掌握等价无穷小替换求极限的方法
4. 熟练使用洛必达法则解决不定式极限
5. 理解无穷小量的阶的比较

下一章预告： 导数与微分——研究函数变化率的工具