第四章 微分方程

考试大纲

1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念
2. 掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法
3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程
4. 会用简单的变量代换解某些微分方程
5. 会用降阶法解下列形式的微分方程：$y^{(n)} = f(x)$，$y'' = f(x, y')$ 和 $y'' = f(y, y')$
6. 理解线性微分方程解的性质及解的结构
7. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法
8. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程

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核心知识点

1. 微分方程的基本概念

微分方程： 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。

阶： 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

解： 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数。

通解： 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

特解： 确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。

初始条件： 用来确定任意常数的条件。

初值问题： 求微分方程满足初始条件的特解的问题。

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2. 一阶微分方程

（1）可分离变量的微分方程

形式： $g(y) \, dy = f(x) \, dx$

解法： 两端积分，得 $\int g(y) \, dy = \int f(x) \, dx$

例题： 求 $\frac{dy}{dx} = 2xy$ 的通解

解： 分离变量得 $\frac{dy}{y} = 2x \, dx$

两端积分：$\ln|y| = x^2 + C_1$

即 $y = \pm e^{x^2 + C_1} = \pm e^{C_1} e^{x^2}$

记 $C = \pm e^{C_1}$，得通解 $y = Ce^{x^2}$

（2）齐次方程

形式： $\frac{dy}{dx} = \varphi\left(\frac{y}{x}\right)$

解法： 令 $u = \frac{y}{x}$，即 $y = ux$，则 $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$

代入原方程得 $u + x\frac{du}{dx} = \varphi(u)$，即 $\frac{du}{\varphi(u) - u} = \frac{dx}{x}$

这是可分离变量的方程，积分后还原 $u = \frac{y}{x}$ 即可。

（3）一阶线性微分方程

形式： $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

通解公式：

$$y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right)$$

记忆技巧： 积分因子法，两边同乘 $e^{\int P(x) \, dx}$，左边变为 $(y \cdot e^{\int P(x) \, dx})'$

（4）伯努利方程

形式： $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$（$n \neq 0, 1$）

解法： 令 $z = y^{1-n}$，则化为一阶线性方程：

$$\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$$

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3. 可降阶的高阶微分方程

（1）$y^{(n)} = f(x)$ 型

解法： 接连积分 $n$ 次，每次积分出现一个任意常数。

（2）$y'' = f(x, y')$ 型

特点： 不显含未知函数 $y$

解法： 设 $y' = p$，则 $y'' = \frac{dp}{dx} = p'$，代入原方程得一阶方程 $p' = f(x, p)$

解出 $p$ 后，再积分一次得 $y$。

（3）$y'' = f(y, y')$ 型

特点： 不显含自变量 $x$

解法： 设 $y' = p$，则 $y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}$

代入原方程得 $p \frac{dp}{dy} = f(y, p)$，这是关于 $y$ 和 $p$ 的一阶方程。

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4. 二阶常系数线性微分方程

（1）齐次方程

形式： $y'' + py' + qy = 0$（$p, q$ 为常数）

特征方程： $r^2 + pr + q = 0$

特征根情况	通解形式
两个不相等实根 $r_1 \neq r_2$	$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
两个相等实根 $r_1 = r_2 = r$	$y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$
一对共轭复根 $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$	$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$

（2）非齐次方程

形式： $y'' + py' + qy = f(x)$

通解结构： $y = Y + y^*$，其中 $Y$ 是对应齐次方程的通解，$y^*$ 是非齐次方程的一个特解。

特解形式（待定系数法）：

$f(x)$ 的形式	特解 $y^*$ 的形式
$f(x) = e^{\lambda x} P_m(x)$（$\lambda$ 不是特征根）	$y^* = e^{\lambda x} Q_m(x)$
$f(x) = e^{\lambda x} P_m(x)$（$\lambda$ 是单特征根）	$y^* = x e^{\lambda x} Q_m(x)$
$f(x) = e^{\lambda x} P_m(x)$（$\lambda$ 是重特征根）	$y^* = x^2 e^{\lambda x} Q_m(x)$
$f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x + P_n(x)\sin\omega x]$（$\lambda + i\omega$ 不是特征根）	$y^* = e^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega x + R_m^{(2)}(x)\sin\omega x]$
$f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x + P_n(x)\sin\omega x]$（$\lambda + i\omega$ 是特征根）	$y^* = x e^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega x + R_m^{(2)}(x)\sin\omega x]$

其中 $m = \max\{l, n\}$，$Q_m(x)$、$R_m^{(1)}(x)$、$R_m^{(2)}(x)$ 均为 $m$ 次多项式。

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典型例题

例题 1：一阶线性微分方程

求方程 $\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x+1} = (x+1)^{\frac{5}{2}}$ 的通解。

解：

这是一阶线性方程，其中 $P(x) = -\frac{2}{x+1}$，$Q(x) = (x+1)^{\frac{5}{2}}$

先求 $\int P(x) \, dx = -2\ln|x+1|$

积分因子：$e^{\int P(x) \, dx} = e^{-2\ln|x+1|} = (x+1)^{-2}$

代入通解公式：

$$y = (x+1)^2 \left[ \int (x+1)^{\frac{5}{2}} \cdot (x+1)^{-2} \, dx + C \right]$$

$$= (x+1)^2 \left[ \int (x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx + C \right]$$

$$= (x+1)^2 \left[ \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + C \right]$$

$$= \boxed{\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{7}{2}} + C(x+1)^2}$$

例题 2：二阶常系数齐次方程

求 $y'' - 2y' + 5y = 0$ 的通解。

解：

特征方程：$r^2 - 2r + 5 = 0$

解得：$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = 1 \pm 2i$

这是一对共轭复根，$\alpha = 1$，$\beta = 2$

通解为：

$$y = \boxed{e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)}$$

例题 3：二阶常系数非齐次方程

求 $y'' - 2y' - 3y = 3x + 1$ 的一个特解。

解：

对应齐次方程的特征方程：$r^2 - 2r - 3 = 0$，解得 $r_1 = 3$，$r_2 = -1$

$f(x) = 3x + 1$ 属于 $e^{\lambda x} P_m(x)$ 型，其中 $\lambda = 0$，$P_m(x) = 3x + 1$

由于 $\lambda = 0$ 不是特征根，设特解：

$$y^* = b_0 x + b_1$$

代入原方程：

$$(b_0 x + b_1)'' - 2(b_0 x + b_1)' - 3(b_0 x + b_1) = 3x + 1$$

$$-2b_0 - 3b_0 x - 3b_1 = 3x + 1$$

比较系数：

$$\begin{cases} -3b_0 = 3 \\ -2b_0 - 3b_1 = 1 \end{cases}$$

解得 $b_0 = -1$，$b_1 = \frac{1}{3}$

特解为：

$$y^* = \boxed{-x + \frac{1}{3}}$$

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易错点提醒

常见错误

1. 通解中常数个数不足

   • 一阶方程通解应含 1 个任意常数
   • 二阶方程通解应含 2 个任意常数

2. 特征根与特解形式不匹配

   • 当 $\lambda$ 是特征根时，特解必须乘以 $x$ 或 $x^2$

3. 齐次方程与线性方程混淆

   • 齐次方程 $\frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})$ 用代换 $u = \frac{y}{x}$
   • 线性方程 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ 用通解公式

4. 忽略方程类型判断

   • 拿到方程先判断类型，再选择对应解法

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本章小结

1. 掌握微分方程的基本概念（阶、解、通解、特解）
2. 熟练掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解法
3. 会解齐次方程和伯努利方程
4. 掌握可降阶的高阶方程的降阶方法
5. 熟练掌握二阶常系数线性方程的解法

下一章预告： 无穷级数——研究无穷多项相加的问题