第五章 无穷级数

考试大纲

1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念
2. 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件
3. 掌握几何级数与 $p$ 级数的收敛与发散的条件
4. 掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别法
5. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法
6. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念
7. 理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法
8. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质
9. 会求一些幂级数在收敛区间内的和函数
10. 掌握 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\ln(1+x)$ 及 $(1+x)^\alpha$ 的麦克劳林展开式

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核心知识点

1. 常数项级数的概念

给定一个数列 $u_1, u_2, u_3, \cdots, u_n, \cdots$，则由这数列构成的表达式：

$$u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n + \cdots$$

叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$，即：

$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n + \cdots$$

其中第 $n$ 项 $u_n$ 叫做级数的一般项。

部分和： 级数的前 $n$ 项和 $s_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \sum_{i=1}^{n} u_i$

收敛与发散： 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和数列 $\{s_n\}$ 有极限 $s$，即 $\lim_{n \to \infty} s_n = s$，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，极限 $s$ 叫做这级数的和，并写成：

$$s = u_1 + u_2 + \cdots + u_n + \cdots$$

如果 $\{s_n\}$ 没有极限，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。

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2. 级数的基本性质

1. 线性性质： 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 分别收敛于和 $s$ 和 $\sigma$，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (ku_n + \lambda v_n)$ 也收敛，且其和为 $ks + \lambda\sigma$

2. 改变有限项不影响敛散性： 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性

3. 收敛级数加括号： 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变

注意： 收敛级数去括号后不一定收敛；发散级数加括号后可能收敛。

4. 收敛的必要条件： 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则它的一般项 $u_n$ 趋于零，即 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$

注意： 一般项趋于零是级数收敛的必要条件而非充分条件。例如调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的一般项趋于零，但它是发散的。

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3. 重要级数

几何级数（等比级数）

$$\sum_{n=0}^{\infty} aq^n = a + aq + aq^2 + \cdots + aq^n + \cdots$$

当 $|q| < 1$ 时收敛，和为 $\frac{a}{1-q}$；当 $|q| \geq 1$ 时发散。

$p$ 级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots + \frac{1}{n^p} + \cdots$$

当 $p > 1$ 时收敛；当 $p \leq 1$ 时发散。

特别地，当 $p = 1$ 时，即为调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，发散。

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4. 正项级数的审敛法

正项级数： 各项都是正数或零的级数。

（1）比较审敛法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都是正项级数，且 $u_n \leq v_n$（$n = 1, 2, \cdots$）。

• 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
• 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散

极限形式： 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都是正项级数，如果 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l$（$0 \leq l < +\infty$），且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；如果 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l > 0$ 或 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = +\infty$，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散。

（2）比值审敛法（达朗贝尔判别法）

设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，如果：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$$

则当 $\rho < 1$ 时级数收敛；$\rho > 1$（或 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = +\infty$）时级数发散；$\rho = 1$ 时级数可能收敛也可能发散。

（3）根值审敛法（柯西判别法）

设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，如果：

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$$

则当 $\rho < 1$ 时级数收敛；$\rho > 1$（或 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = +\infty$）时级数发散；$\rho = 1$ 时级数可能收敛也可能发散。

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5. 交错级数

交错级数： 各项正负交错的级数，形式为：

$$u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \cdots \quad \text{或} \quad -u_1 + u_2 - u_3 + u_4 - \cdots$$

其中 $u_1, u_2, \cdots$ 都是正数。

莱布尼茨定理： 如果交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$ 满足条件：

1. $u_n \geq u_{n+1}$（$n = 1, 2, 3, \cdots$）
2. $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$

则级数收敛，且其和 $s \leq u_1$，其余项 $r_n$ 的绝对值 $|r_n| \leq u_{n+1}$。

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6. 绝对收敛与条件收敛

绝对收敛： 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛。

条件收敛： 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 发散，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛。

定理： 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 必定收敛。

重要结论： 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）。

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7. 幂级数

函数项级数： 给定一个定义在区间 $I$ 上的函数列 $u_1(x), u_2(x), \cdots, u_n(x), \cdots$，由这函数列构成的表达式：

$$u_1(x) + u_2(x) + \cdots + u_n(x) + \cdots$$

称为定义在区间 $I$ 上的（函数项）无穷级数。

幂级数： 各项都是幂函数的函数项级数，形式为：

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots$$

其中常数 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ 叫做幂级数的系数。

阿贝尔定理： 如果级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 当 $x = x_0$（$x_0 \neq 0$）时收敛，则适合不等式 $|x| < |x_0|$ 的一切 $x$ 使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 当 $x = x_0$ 时发散，则适合不等式 $|x| > |x_0|$ 的一切 $x$ 使这幂级数发散。

收敛半径： 如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 不是仅在 $x = 0$ 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数 $R$ 存在，使得：

• 当 $|x| < R$ 时，幂级数绝对收敛
• 当 $|x| > R$ 时，幂级数发散
• 当 $x = R$ 与 $x = -R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散

正数 $R$ 叫做幂级数的收敛半径，开区间 $(-R, R)$ 叫做幂级数的收敛区间。

收敛半径求法： 如果 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho$（或 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$），则：

$$R = \begin{cases} \frac{1}{\rho}, & \rho \neq 0 \\ +\infty, & \rho = 0 \\ 0, & \rho = +\infty \end{cases}$$

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8. 幂级数的和函数

性质： 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上连续，且在收敛区间 $(-R, R)$ 内可导，并可逐项求导和逐项积分。

逐项求导：

$$s'(x) = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right)' = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n x^n)' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$$

逐项积分：

$$\int_0^x s(t) \, dt = \int_0^x \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n \right) dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x a_n t^n \, dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$$

逐项求导和逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

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9. 函数展开成幂级数

泰勒级数： 如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内具有任意阶导数，则称幂级数：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n$$

为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的泰勒级数。

当 $x_0 = 0$ 时，称为麦克劳林级数：

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$

重要展开式：

函数	展开式	收敛区间
$e^x$	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$	$(-\infty, +\infty)$
$\sin x$	$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$	$(-\infty, +\infty)$
$\cos x$	$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$	$(-\infty, +\infty)$
$\ln(1+x)$	$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$	$(-1, 1]$
$(1+x)^\alpha$	$1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$	$(-1, 1)$
$\frac{1}{1-x}$	$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots$	$(-1, 1)$

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典型例题

例题 1：判断级数敛散性

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n!)^2}$ 的敛散性。

解：

使用比值审敛法：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{n^n}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)^2 n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 0 \cdot e = 0 < 1$$

所以级数收敛。

例题 2：求幂级数的收敛域

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{2^n \cdot n}$ 的收敛域。

解：

令 $t = x - 1$，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{2^n \cdot n}$

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \cdot n}{2^{n+1} \cdot (n+1)} = \frac{1}{2}$$

收敛半径 $R = 2$

当 $t = 2$ 时，级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，发散

当 $t = -2$ 时，级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，收敛（莱布尼茨判别法）

所以 $-2 \leq t < 2$，即 $-2 \leq x - 1 < 2$，收敛域为 $\boxed{[-1, 3)}$

例题 3：求幂级数的和函数

求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ 的和函数。

解：

已知 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$（$|x| < 1$）

逐项求导：

$$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right)' = \left( \frac{1}{1-x} \right)' = \boxed{\frac{1}{(1-x)^2}}$$

收敛区间为 $(-1, 1)$。

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易错点提醒

常见错误

1. 忽视收敛的必要条件

   • 错误：认为 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ 则级数收敛
   • 正确：这只是必要条件，如调和级数发散

2. 比值/根值判别法失效时不会判断

   • 当 $\rho = 1$ 时，需要改用比较判别法或其他方法

3. 求收敛域时忘记讨论端点

   • 收敛区间是开区间，收敛域需要单独讨论端点敛散性

4. 逐项求导/积分后不检查收敛域

   • 端点的敛散性可能改变

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本章小结

1. 理解级数收敛与发散的概念，掌握级数的基本性质
2. 熟练掌握正项级数的比较、比值、根值判别法
3. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法
4. 理解绝对收敛与条件收敛的概念
5. 掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求法
6. 会求简单幂级数的和函数，掌握常见函数的幂级数展开式

下一章预告： 多元函数微积分——从一元到多元的推广