第三章 积分学

考试大纲

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念
2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质
3. 掌握定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法
4. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分
5. 理解积分上限的函数，会求它的导数
6. 掌握牛顿-莱布尼茨公式
7. 了解反常积分的概念，会计算反常积分
8. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量

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核心知识点

1. 不定积分的概念

如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$，即对任一 $x \in I$，都有：

$$F'(x) = f(x) \quad \text{或} \quad dF(x) = f(x)dx$$

那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$（或 $f(x)dx$）在区间 $I$ 上的一个原函数。

不定积分： 在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$（或 $f(x)dx$）在区间 $I$ 上的不定积分，记作：

$$\int f(x) \, dx$$

其中记号 $\int$ 称为积分号，$f(x)$ 称为被积函数，$f(x)dx$ 称为被积表达式，$x$ 称为积分变量。

如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，那么 $F(x) + C$ 就是 $f(x)$ 的不定积分，即：

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

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2. 基本积分公式

导数公式	积分公式
$(kx)' = k$	$\int k \, dx = kx + C$
$(x^{\mu+1})' = (\mu+1)x^\mu$	$\int x^\mu \, dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C$（$\mu \neq -1$）
$(\ln	x
$(e^x)' = e^x$	$\int e^x \, dx = e^x + C$
$(a^x)' = a^x \ln a$	$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
$(\sin x)' = \cos x$	$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
$(\cos x)' = -\sin x$	$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
$(\tan x)' = \sec^2 x$	$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
$(\cot x)' = -\csc^2 x$	$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$
$(\sec x)' = \sec x \tan x$	$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$
$(\csc x)' = -\csc x \cot x$	$\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C$
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$
$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$	$\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$

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3. 换元积分法

第一类换元法（凑微分法）

设 $f(u)$ 具有原函数 $F(u)$，$u = \varphi(x)$ 可导，则有换元公式：

$$\int f[\varphi(x)] \varphi'(x) \, dx = \left[ \int f(u) \, du \right]_{u = \varphi(x)} = F[\varphi(x)] + C$$

常用凑微分形式：

积分类型	凑微分形式
$\int f(ax + b) \, dx$	$\frac{1}{a} \int f(ax + b) \, d(ax + b)$
$\int f(x^n) x^{n-1} \, dx$	$\frac{1}{n} \int f(x^n) \, d(x^n)$
$\int f(e^x) e^x \, dx$	$\int f(e^x) \, d(e^x)$
$\int f(\ln x) \frac{dx}{x}$	$\int f(\ln x) \, d(\ln x)$
$\int f(\sin x) \cos x \, dx$	$\int f(\sin x) \, d(\sin x)$
$\int f(\cos x) \sin x \, dx$	$-\int f(\cos x) \, d(\cos x)$
$\int f(\tan x) \sec^2 x \, dx$	$\int f(\tan x) \, d(\tan x)$

第二类换元法

设 $x = \psi(t)$ 是单调的可导函数，并且 $\psi'(t) \neq 0$。又设 $f[\psi(t)]\psi'(t)$ 具有原函数，则有换元公式：

$$\int f(x) \, dx = \left[ \int f[\psi(t)] \psi'(t) \, dt \right]_{t = \psi^{-1}(x)}$$

常用换元：

被积函数含	换元	利用公式
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$x = a \sin t$	$1 - \sin^2 t = \cos^2 t$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$x = a \tan t$	$1 + \tan^2 t = \sec^2 t$
$\sqrt{x^2 - a^2}$	$x = a \sec t$	$\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$
$\sqrt[n]{ax + b}$	$t = \sqrt[n]{ax + b}$	去根号

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4. 分部积分法

设函数 $u = u(x)$ 及 $v = v(x)$ 具有连续导数，则：

$$\int u v' \, dx = uv - \int u' v \, dx$$

或

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

选择 $u$ 和 $dv$ 的原则：

1. $v$ 要容易求得
2. $\int v \, du$ 要比 $\int u \, dv$ 容易积出

"反对幂指三"原则（选择 $u$ 的优先级）：

• 反：反三角函数
• 对：对数函数
• 幂：幂函数
• 指：指数函数
• 三：三角函数

排在前面的函数优先选作 $u$。

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5. 定积分的概念

设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，在 $[a, b]$ 中任意插入若干个分点：

$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b$$

把区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$，长度为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。

在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，作乘积 $f(\xi_i) \Delta x_i$，并作出和：

$$S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$

记 $\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n\}$，如果当 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，且与闭区间 $[a, b]$ 的分法及点 $\xi_i$ 的取法无关，则称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作：

$$\int_a^b f(x) \, dx = I = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$

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6. 定积分的性质

1. 线性性质：

   $$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx$$

2. 区间可加性：

   $$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$$

3. 保号性： 如果在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) \geq 0$，则 $\int_a^b f(x) \, dx \geq 0$（$a < b$）

4. 估值定理： 设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值及最小值，则：

   $$m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a) \quad (a < b)$$

5. 定积分中值定理： 如果函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a, b]$ 上连续，则在 $[a, b]$ 上至少存在一个点 $\xi$，使下式成立：

   $$\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b - a) \quad (a \leq \xi \leq b)$$

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7. 牛顿-莱布尼茨公式

如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，则：

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

记作 $[F(x)]_a^b$ 或 $F(x) \Big|_a^b$。

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8. 积分上限函数

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，并且设 $x$ 为 $[a, b]$ 上的一点，考察定积分：

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$

定理： 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则积分上限的函数 $\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 在 $[a, b]$ 上可导，并且它的导数：

$$\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x) \quad (a \leq x \leq b)$$

推论： 若 $F(x) = \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) \, dt$，则：

$$F'(x) = f[\psi(x)] \psi'(x) - f[\varphi(x)] \varphi'(x)$$

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典型例题

例题 1：第一类换元法

求 $\int \frac{dx}{x(1 + 2\ln x)}$

解：

注意到 $\frac{dx}{x} = d(\ln x)$，令 $u = \ln x$，则：

$$\int \frac{dx}{x(1 + 2\ln x)} = \int \frac{d(\ln x)}{1 + 2\ln x} = \frac{1}{2} \int \frac{d(1 + 2\ln x)}{1 + 2\ln x}$$

$$= \boxed{\frac{1}{2} \ln|1 + 2\ln x| + C}$$

例题 2：第二类换元法

求 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}}$（$a > 0$）

解：

令 $x = a \tan t$（$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$），则 $dx = a \sec^2 t \, dt$，$\sqrt{x^2 + a^2} = a \sec t$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \int \frac{a \sec^2 t}{a \sec t} \, dt = \int \sec t \, dt = \ln|\sec t + \tan t| + C_1$$

由 $\tan t = \frac{x}{a}$，得 $\sec t = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a}$，且 $\sec t + \tan t > 0$，因此：

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln\left(\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a}\right) + C_1 = \boxed{\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C}$$

其中 $C = C_1 - \ln a$。

例题 3：分部积分法

求 $\int x \arctan x \, dx$

解：

设 $u = \arctan x$，$dv = x \, dx$，则 $du = \frac{dx}{1 + x^2}$，$v = \frac{x^2}{2}$

$$\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{dx}{1 + x^2}$$

$$= \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^2} \, dx$$

$$= \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}\right) dx$$

$$= \frac{x^2}{2} \arctan x - \frac{1}{2}(x - \arctan x) + C$$

$$= \boxed{\frac{1}{2}(x^2 + 1)\arctan x - \frac{1}{2}x + C}$$

例题 4：定积分计算

求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx$

解：

利用降幂公式：$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2x) \, dx$$

$$= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \boxed{\frac{\pi}{4}}$$

例题 5：积分上限函数求导

设 $F(x) = \int_0^{x^2} e^{t^2} \, dt$，求 $F'(x)$。

解：

由积分上限函数求导公式：

$$F'(x) = e^{(x^2)^2} \cdot (x^2)' = \boxed{2x e^{x^4}}$$

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易错点提醒

常见错误

1. 忘记加积分常数 $C$

   • 错误：$\int \cos x \, dx = \sin x$
   • 正确：$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

2. 换元后忘记换回原变量

   • 第二类换元法结果必须换回 $x$ 的函数

3. 分部积分时 $u$ 和 $dv$ 选择不当

   • 应遵循"反对幂指三"原则选择 $u$

4. 定积分换元时忘记换限

   • 定积分换元必须同时更换积分上下限

5. 忽略被积函数的奇偶性

   • 对称区间上的定积分，先判断奇偶性可简化计算

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本章小结

1. 理解原函数与不定积分的概念，掌握基本积分公式
2. 熟练掌握两类换元积分法和分部积分法
3. 理解定积分的概念和性质，掌握牛顿-莱布尼茨公式
4. 掌握积分上限函数及其求导法则
5. 会计算常见类型的不定积分和定积分

下一章预告： 微分方程——含有未知函数及其导数的方程