第二章 导数与微分

考试大纲

1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系
2. 理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程
3. 理解函数的可导性与连续性之间的关系
4. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则
5. 掌握基本初等函数的导数公式
6. 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性
7. 会求函数的微分
8. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数
9. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
10. 会求反函数的导数

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核心知识点

1. 导数的定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$（点 $x_0 + \Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。

如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，则称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

也可记作：$\left. y' \right|_{x=x_0}$，$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=x_0}$，$\left. \frac{df(x)}{dx} \right|_{x=x_0}$

单侧导数

• 左导数：$f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
• 右导数：$f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

函数在一点可导的充要条件： 左导数和右导数都存在且相等。

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2. 导数的几何意义

函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y = f(x)$ 在点 $M(x_0, f(x_0))$ 处的切线的斜率，即：

$$k = \tan \alpha = f'(x_0)$$

其中 $\alpha$ 是切线的倾角。

• 切线方程：$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$
• 法线方程：$y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$（$f'(x_0) \neq 0$）

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3. 可导与连续的关系

定理： 如果函数 $y = f(x)$ 在点 $x$ 处可导，则函数在该点必连续。

注意： 反之不成立！函数在某点连续不一定可导。

经典反例： $y = |x|$ 在 $x = 0$ 处连续但不可导（左导数为 $-1$，右导数为 $1$）。

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4. 基本初等函数的导数公式

函数	导数	函数	导数
$(C)'$	$0$	$(x^\mu)'$	$\mu x^{\mu-1}$
$(\sin x)'$	$\cos x$	$(\cos x)'$	$-\sin x$
$(\tan x)'$	$\sec^2 x$	$(\cot x)'$	$-\csc^2 x$
$(\sec x)'$	$\sec x \tan x$	$(\csc x)'$	$-\csc x \cot x$
$(a^x)'$	$a^x \ln a$	$(e^x)'$	$e^x$
$(\log_a x)'$	$\frac{1}{x \ln a}$	$(\ln x)'$	$\frac{1}{x}$
$(\arcsin x)'$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(\arccos x)'$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)'$	$\frac{1}{1+x^2}$	$(\text{arccot } x)'$	$-\frac{1}{1+x^2}$

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5. 求导法则

四则运算法则

设 $u = u(x)$，$v = v(x)$ 都可导，则：

1. $(u \pm v)' = u' \pm v'$
2. $(Cu)' = Cu'$（$C$ 是常数）
3. $(uv)' = u'v + uv'$
4. $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$（$v \neq 0$）

复合函数求导法则（链式法则）

如果 $u = g(x)$ 在点 $x$ 可导，而 $y = f(u)$ 在点 $u = g(x)$ 可导，则复合函数 $y = f[g(x)]$ 在点 $x$ 可导，且其导数为：

$$\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

反函数求导法则

如果函数 $x = f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、可导且 $f'(y) \neq 0$，则它的反函数 $y = f^{-1}(x)$ 在区间 $I_x = \{x | x = f(y), y \in I_y\}$ 内也可导，且：

$$[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)} \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

隐函数求导法则

对于由方程 $F(x, y) = 0$ 确定的隐函数 $y = y(x)$，将 $y$ 看作 $x$ 的函数，对方程两边关于 $x$ 求导，然后解出 $\frac{dy}{dx}$。

参数方程求导法则

设参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$，若 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 都可导，且 $\varphi'(t) \neq 0$，则：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$

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6. 高阶导数

函数 $y = f(x)$ 的导数 $y' = f'(x)$ 仍然是 $x$ 的函数。我们把 $y' = f'(x)$ 的导数叫做函数 $y = f(x)$ 的二阶导数，记作：

$$y'' = (y')' = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d^2y}{dx^2}$$

类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，$n-1$ 阶导数的导数称为 $n$ 阶导数，分别记作：

$$y''', \quad y^{(4)}, \quad \cdots, \quad y^{(n)}$$

或

$$\frac{d^3y}{dx^3}, \quad \frac{d^4y}{dx^4}, \quad \cdots, \quad \frac{d^ny}{dx^n}$$

常见函数的高阶导数

函数	$n$ 阶导数
$(e^x)^{(n)}$	$e^x$
$(\sin x)^{(n)}$	$\sin\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$
$(\cos x)^{(n)}$	$\cos\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$
$(x^m)^{(n)}$	$m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n}$（$n \leq m$）
$(\ln x)^{(n)}$	$(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$

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7. 微分

设函数 $y = f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0 + \Delta x$ 在这区间内，如果函数的增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 可表示为：

$$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$$

其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，则称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A \Delta x$ 叫做函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记作 $dy$，即：

$$dy = A \Delta x$$

可微与可导的关系： 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充分必要条件是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，且当 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微时，其微分一定是：

$$dy = f'(x_0) \Delta x$$

通常把自变量 $x$ 的增量 $\Delta x$ 称为自变量的微分，记作 $dx$，即 $dx = \Delta x$。于是：

$$dy = f'(x) dx$$

从而 $\frac{dy}{dx} = f'(x)$，导数也叫做微商。

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典型例题

例题 1：复合函数求导

求 $y = \ln \sin \sqrt{x}$ 的导数。

解：

设 $y = \ln u$，$u = \sin v$，$v = \sqrt{x}$，则：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \cos v \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$= \frac{1}{\sin \sqrt{x}} \cdot \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \boxed{\frac{\cot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}$$

例题 2：隐函数求导

求由方程 $e^y + xy - e = 0$ 所确定的隐函数 $y$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。

解：

方程两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：

$$e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$$

解得：

$$\frac{dy}{dx} = \boxed{-\frac{y}{x + e^y}} \quad (x + e^y \neq 0)$$

例题 3：参数方程求导

设 $\begin{cases} x = a \cos^3 t \\ y = a \sin^3 t \end{cases}$，求 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

解：

$$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = \boxed{-\tan t}$$

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}(-\tan t) \cdot \frac{dt}{dx} = -\sec^2 t \cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}$$

$$= -\sec^2 t \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t} = \boxed{\frac{1}{3a \cos^4 t \sin t}}$$

例题 4：分段函数求导

设 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$，求 $f'(x)$。

解：

当 $x \neq 0$ 时：

$$f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} + x^2 \cos \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \boxed{2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}}$$

当 $x = 0$ 时，用定义求导：

$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = \boxed{0}$$

（因为 $\left| x \sin \frac{1}{x} \right| \leq |x| \to 0$）

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易错点提醒

常见错误

1. 复合函数求导漏层

   • 错误：$[\sin(2x)]' = \cos(2x)$
   • 正确：$[\sin(2x)]' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

2. 幂指函数求导错误

   • 对于 $y = u(x)^{v(x)}$，应先取对数：$\ln y = v(x) \ln u(x)$，再求导
   • 错误：$[x^x]' = x \cdot x^{x-1} = x^x$
   • 正确：$[x^x]' = x^x (\ln x + 1)$

3. 分段函数在分段点直接代入公式

   • 错误：直接对分段点两侧分别求导后相等就认为可导
   • 正确：必须用定义求分段点的导数，或验证左右导数

4. 参数方程求二阶导数时忘记除以 $\frac{dx}{dt}$

   • 错误：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$
   • 正确：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$

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本章小结

1. 深刻理解导数的定义及其几何意义
2. 熟练掌握基本初等函数的导数公式
3. 掌握复合函数、隐函数、参数方程的求导法则
4. 理解可导与连续、可微与可导的关系
5. 会求简单函数的高阶导数

下一章预告： 积分学——导数的逆运算